第一型曲线积分

定义在平面曲线或空间曲线上的函数关于该曲线的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲线,计算该曲线的质量。

第一型曲线积分基本信息

中文名 第一型曲线积分 所属学科 数学 [1] 

第一型曲线积分具有下述一些重要性质 :

1).若

存在,
为常数,则
也存在,且

2).若曲线段

由曲线
首尾相接而成,且
都存在,则
也存在,且

3).若

都存在,且在
, 则

4).若

存在,则
也存在,且

第一型曲线积分造价信息

市场价 信息价 询价
材料名称 规格/型号 市场价
(除税)
工程建议价
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信息价
含税
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设有光滑曲线

,函数
为定义在
上的连续函数,则

为平面上可求长度的曲线段,
为定义在
上的函数.对曲线
作分割
,它把分成
个可求长度的小曲线段
的弧长记为
,分割
的细度为
,在
上任取一点
, 若存在极限

且它的值与分割及点的取法无关,则称此极限
上的第一型曲线积分 ,记为

或者简写成

为空间上可求长度的曲线段,
为定义在
上的函数.对曲线
作分割
,它把分成
个可求长度的小曲线段
的弧长记为
,分割
的细度为
,在
上任取一点
, 若存在极限

且它的值与分割及点的取法无关,则称此极限
上的第一型曲线积分,记为

对于一般维空间中曲线,可同样给出定义。

第一型曲线积分常见问题

是平面上某一可求长度的曲线,
是其密度函数,当计算物体的质量问题时便须要第一型曲线积分.首先对
作分割,把分成n个可求长度的小曲线段
(i=1,2,…,n),并在每一个上任取一点
,由于密度函数为连续函数,故当的弧长都很小时,每一小段的质量可近似地等于
,其中
为小曲线段的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式

当对

的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量 .

下面给出二个常用的应用。

1) 空间曲线

的重心坐标为

2)曲线

绕z轴(x, y轴)的转动惯量 是

2100433B

第一型曲线积分文献

双曲线模型分析抗浮锚杆P-S曲线的特征 双曲线模型分析抗浮锚杆P-S曲线的特征

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双曲线模型分析抗浮锚杆P-S曲线的特征——文章用双曲线拟合抗浮锚杆基本试验的荷载-位移(P-S)数据,通过拟合所得曲线进行分析,确定其破坏比和安全系数,对破坏荷载进行相应的修正,最终得到确定抗浮锚杆的抗拔力特征值的简单而实用的方法。

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曲线积分分为:

(1)对弧长的曲线积分 (第一类曲线积分)

(2)对坐标轴的曲线积分(第二类曲线积分)

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别;对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds;例如:对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy,例如:对L’的曲线积分∫P(x,y)dx Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义,通常说来都是正的,而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号 。

先看一个例子:设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ,设构件的密度分布函数为ρ(x,y),设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续,求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量;对于密度不均匀的物件,就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径,∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

设空间曲面S的方程为

,其中
为曲面S在
平面上的投影域,函数
在曲面S上连续,如果
上有连续的一阶偏导数,则有

其中

上的投影域,
表示在
内某点
处的两个偏导数。由第一型曲面积分的定义,于是将第一型曲面积分化为二重积分的计算

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