主动土压力系数

由W. J. M. 朗肯于1857年根据土的极限平衡理论提出的经典土压力理论。

主动土压力系数假设

（1）墙背直立；

（2）挡墙背面光滑即不考虑墙与土之间的摩擦力；

（3）墙后填土表面水平并无限延伸；

（4）滑裂面为直线。

主动土压力系数分析方法

挡土墙墙背可用无限土体中竖直光滑面表示，墙后填土面以下深度z点处取一立方体形的微分单元体, 其上有竖向法向应力σ_z和水平向法向应力σ_x , 且都为主应力。土体处于弹性状态时, 该点的应力圆远离土的抗剪强度包线。当土体静止不动时, 深度z 处土单元体的应力为σ_z=γ_z，σ_x=K₀γ_z。其中，K₀为静止土压力系数。

当挡土墙在墙后填土压力作用下，如向远离填土方向发生位移，墙受到的土压力会随位移的增加而减小。此时单元土体的竖向应力σ_z不变，而水平向法向应力σ_x减小。当墙后土体达到极限平衡状态，墙后土体中产生的两组滑动面与水平面成45° φ/2的夹角，并出现连续滑裂面（滑裂面与水平方向的夹角为45°-φ/2），滑动面以上（主动区）土体均达到主动极限平衡状态，土压力减至最小值，此值即为主动土压力。

即当弹性半无限体由于在水平方向伸长或压缩并达到极限平衡状态时，设想用一垂直光滑的挡土墙面代替弹性半无限体一侧的土体而不改变原来的应力状态， 根据土的极限平衡理论，得出无粘性土的主动和被动土压力强度分别为：

σ_a=γzK_a

σ_p=γzK_p

主动和被动土压力分别为：

E_a=1/2γHK_a

E_p=1/2γHK_p

上列各式中

朗肯土压力理论的适用条件为： ① 挡土墙墙背垂直；②墙后填土表面水平；③挡土墙墙背光滑，没有摩擦，因而无剪力，即墙背为主应力。

用等值内摩擦角(φ_D)等代粘性土的c和φ值,即等值内摩擦角法。

式中：h_i计算土层厚度(m)；γ土体重度（KN/m³）。

利用上式求出φ_D，再利用库仑、朗肯被动土压力系数公式计算k_p，即所谓同时考虑c、φ值法。

从教材、文章、专著和岩土工程实录中常用的是朗肯土压力法和库伦土压力法，很少见到等效内摩擦角法计算k_p的方法，应该说以上三种计算被动土压力系数的方法都是针对粘性土的抗剪强度特征进行了全面的探讨。可见正确求算粘性土的被动土压力系数是人们更多关注的问题，也说明求算粘性土被动土压力系数的难度和重要性。

按挡土墙与在墙后填土的作用下发生水平位移（或转动）的大小可产生主动土压力、静止土压力、被动土压力，相应的有主动土压力系数、静止土压力系数、被动土压力系数。其中主动土压力系数K_a是计算主动土压力的基础。工程实际中很多情况需采用主动土压力进行挡土墙的稳定和强度验算等。主动土压力系数的取值直接影响主动土压力的计算结果，进而影响着挡土墙的稳定性、安全性和造价。

由于土压力理论及其假设的不同，主动土压力系数的确定方法也有多种。朗肯土压力理论和库仑土压力理论是两个著名的古典土压力理论，由于概念明确，方法简单，在工程实践中仍被广泛采用。这两个土压力理论提出了各自假定条件下主动土压力系数的确定方法。此外，其他学者在主动土压力系数的计算与确定方面也做了很多，得出了有意义的改进成果。

由 C. A. 库仑于1776年根据挡土结构物后滑动土楔所受力的平衡条件得出的经典土压力公式。

假设条件

（1）墙背倾斜, 具有倾角α；

（2）墙后填土为砂土，表面倾角为β；

（3）墙背粗糙有摩擦力，墙与土间的摩擦角为δ；

（4）平面滑裂面假设：当墙面向前或向后移动，使墙后填土达到破坏时，填土将沿两个平面同时下滑或上滑；一个是墙背AB面，另一个是土体内某一滑动面BC。设BC面与水平面成θ角；

（5）刚体滑动假设：将破坏土楔ABC视为刚体，不考虑滑动楔体内部的应力和变形条件（这与朗肯理论认为滑动楔体内各点都达到极限状态不同）；

（6）楔体ABC整体处于极限平衡条件。

根据以上库仑土压力理论假定，按弹性力学的平面问题，可求得作用在挡土墙上的土压力。

即当挡土墙后土体处于极限平衡状态时形成一滑动土楔，滑动面是一平面，墙后填土是理想散体。对于任意一滑动面

BC，与水平面的倾角为θ （图a），作用在滑动土楔ABC上的力有：土楔自重W、BC面上的土反力R、墙背对土楔的反力E，根据静力平衡条件求得E （图b） 并求其极值，得如下土压力公式：

E_a=1/2γH^2Ka

E_p=1/2γH^2K_p

式中E_a、E_p分别为主动土压力和被动土压力；γ为土的重度；H为挡土墙高度；K_a、K_p分别为库伦主动土压力系数和被动土压力系数，与土的内摩擦角φ、 填土面与水平面的倾角β、 挡土墙背的倾角α以及墙背材料与填土之间的摩擦角δ有关，可按有关公式计算或图表查得。对于无粘性填土用该理论计算主动土压力较符合实际，但计算被动土压力误差较大，以后推广到应用于粘性填土。

1. 对于c、φ值都较小的软土,上述三种计算k_a的方法皆适用。

2. 朗肯条件下，β =0，δ=0时库仑主动土压力系数与朗肯主动土压力系数相同。

3. 朗肯主动土压力系数是墙后填土水平应力和垂直应力的比值；而库仑主动土压力系数不是水平应力和垂直应力的比值，而是与水平方向成角度ε δ方向的应力与垂直方向的应力的比值。

4. 朗肯土压力法，对超固结土和湿陷性黄土趋于保守。应当指出的是，这种土质条件下若基坑开挖深度在地下水位以下，降水效果较好，或基坑开挖深度在地下水位以上，基坑开挖深度在8～10m左右，可无支护开挖。

γ---挡土墙后填土的重度