空间向量

三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。

向量的大小叫做向量的长度或模（modulus)。

1.长度为0的向量叫做零向量，记为0。

2.模为1的向量称为单位向量。

3.与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a。

4.方向相等且模相等的向量称为相等向量。

1、共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2、共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax by

3、空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa yb zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA yPB

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA yOB zOC （其中x y z=1），则四点P、A、B、C共面．

3、利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．

4、利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0 ．

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 a,b，求：<a,b> 的问题．

6、利用向量求距离即求向量的模问题．

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．

第一步：

按照图形建立三维坐标系O-xyz之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。

第二步：

求平面的法向量：

令法向量n=（x,y,z）

因为法向量垂直于此平面

所以n垂直于此面内两相交直线（其方向向量为a，b)

可列出两个方程 n·a=0,n·b=0

两个方程，三个未知数

然后根据计算方便

取z（或x或y）等于一个数（如：1，√2等）

代入即可求出面的一个法向量n的坐标了.

会求法向量后

1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.

2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，

求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a

点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.

3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量

可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 ：cos<n,m>=|n·m|/(|n||m|)

那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。

4.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν 则

线线平行 l∥m<=>a∥b <=> a=kb

线面平行 l∥α<=>a⊥μ<=>a·μ=0

面面平行 α∥β<=>μ∥ν<=>μ=kν

线线垂直 l⊥m<=>a⊥b<=>a·b=0

线面垂直 l⊥α <=>a∥μ <=> a=kμ

面面垂直 α⊥β<=> μ⊥ν<=>μ·ν=0

5.空间向量的坐标运算：设a=(x₁,y₁,z₁)，b=(x₂,y₂,z₂)，则

1.|a|=

2.ab=(x₁ x₂,y₁ y₂,z₁ z₂)

3.a-b=(x₁-x₂,y₁-y₂,z₁-z₂)

4.ka=k(x₁,y₁,z₁)=(kx₁,ky₁,kz₁)

5.a·b=x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂

6.a∥b<=> a=kb(b≠0,

7.a⊥b<=> a·b=0<=>x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂=0

8.cos<a,b>=（a·b）/（|a|·|b|）=(x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂) / [