稳定性图

《物理学名词》第三版。 2100433B

2019年，经全国科学技术名词审定委员会审定发布。

稳定性定理(stability theorems)图论的重要定理之一描述极图偏离程度的定理一般指第一稳定性定理和第二稳定性定理.第一稳定性定理如下:设丫是一禁用图类，其次色数为p，对于任意。>0,存在}E>0和正整数n#>0，满足条件:若n阶图Gn不含任何LEA，及n>nE，且G的边数大于ex(n,cue)-}Enz，则G、可由T,，改变最多enz条边得到.第二稳定性定理如下:设丫是禁用图类，次色数为p，分解为fc,k>O,G"EEx(n,}),S}}},5，为它的最优划分，G一CS>，若e(G")>ex(n，丫)一k·ex(n,}c)，则有下面的结论:

1.G”可由X(G删除O(ex(n,}c))条边得到.

2. a (G;)=O(ex(n，产))十O(n)， }V

O(ex(n,fc)/n) O(1).

4.设LE },川=r，若A为S中满足b

一般是指作用在系统上的扰动排除后，系统能否恢复原状、或以怎样的精度恢复原状的性能。它是控制理论的一个极其重要的问题。在经典控制理论中，一般涉及到的是定常的线性系统，有关这种系统的稳定性的判别方法主要有： 罗斯—胡尔维茨准则、奈奎斯特判据、波德图、尼柯尔图和根轨迹法等。在现代控制理论中，对线性系统和非线性系统的稳定性的研究，主要是李雅普诺夫的稳定性理论。李雅普诺夫根据系统的输出 (响应) 是否有界来定义系统的稳定性，并区分了三种情况： (1) 稳定的，即对于系统初始值的一个扰动，如果其响应的幅值是有界的。(2) 渐近稳定的，即对于系统初始值的一个扰动，如果其响应能够最终回到初始状态。(3)不稳定的，即对于系统初始值的一个扰动，其响应的幅值不是有界的。经典控制理论所研究的稳定性只限于第二种情况渐近稳定，而把另两种情况都看作是不稳定的。因而李雅普诺夫的稳定性概念更具一般性。李雅普诺夫用两种方法分析系统的稳定性，第一种方法是： 用近似极数表示非线性函数，然后用近似方法求解非线性方程，最后根据解的性质，确定其系统的稳定性; 第二种方法是： 不必求解方程，而用李雅普诺夫函数的纯量函数来判别系统是否稳定，并分析系统的响应。由于第二种方法具有不必求解方程的特点，因而也称直接法，而称第一种方法为间接法。由于许多非线性系统和时变系统的方程是难以求解的，又由于通过计算机可以找到所需的李雅普诺夫函数，还能找到系统的稳定区域，所以第二种方法在控制理论中得到广泛应用。稳定性对于社会经济系统极为重要，是经济学经常讨论的重要课题之一。探讨经济系统的稳定性，对于了解经济系统的动态发展规律、预测经济发展方向以及分析经济系统的结构等，都有着重要的现实意义。

拓扑稳定性(topological stability)亦称半结构稳定性或半稳定性。

通常是描述系统在C小扰动下的一个稳定性概念。设(M，d)是紧致度量空间，f：M→M是同胚。若对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意同胚g：M→M，当d(f，g)≤δ时，存在连续满射h：M→M满足：

1.h°g=f°h，即上图可交换；

2.d(h，id_M)≤ε；

则称f是拓扑稳定的。

对度量空间上的连续流而言，其定义如下：设(M，d)是紧致度量空间，φ是M上的连续流。若对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意连续流ψ：R×M→M及任t∈(0，1]，当d(φ_t，ψ_t)≤δ时，存在连续满射h：M→M满足：

1.对任意x∈M，h把φ过x的轨道映到ψ过h(x)的轨道内；

2.d(h，id_M)≤ε；

则称φ是拓扑稳定的。

对于自映射情形，也可给出拓扑稳定性的类似定义。微分流形上的安诺索夫系统是拓扑稳定的；扩张映射是拓扑稳定的。对微分同胚来说，公理A和强横截条件蕴涵着拓扑稳定性。