信号与图像的稀疏分解及初步应用基本信息

基于范数

这类方法通过定义

基于稀疏表示

这类方法的核心思想是建立卡通信号字典和纹理信号字典，通过稀疏编码(sparse coding)过程把图像分解到这两个字典上。

基于算子信号

然而，以上分解算法的求解过程复杂且不易对图像作更精细的层级分解。近年Peng和Hwang提出一种基于算子的信号分解算法，该方法可以将1维信号中的局部窄带的成分分解到算子的零空间，这种局部窄带信号成分完全由该算子所刻画。

分解模型为：

式中，

基于算子的信号分解方法可以有效地把1维信号分解到两类奇异线性算子的零空间，这种分解方法可以有效地应用到2维图像信号的卡通纹理分解，使分解得到纹理成分得到具体算子的刻画，这是从算子的思想角度对图像中所包含成分的一种新认识，为更好地认识图像(主要对纹理成分的认识)提供了一条新思路。为了把图像转变为1维信号，采用对图像分块处理的方法，将图像块系列化为1维信号，并结合卡通纹理图像的一般特点，用局部全变差变化率作为自适应参数选择的依据，对图像块进行分解，最后综合各图像块的分解结果得到整个图像的分解结果，为了一定程度克服块效应，采取了块间重叠的措施。同时，把自适应参数当成尺度因子，层级调整尺度因子，反复对剩余信号分解，最后实现了图像的层级分解，对具体图像分解验证了算法的有效性 。

多尺度图像

多尺度多分辨是人类视觉高效、准确工作的重要特征之一。自然产生的图像大多包含大量不同尺度的信息，这些信息在一幅图像中同时出现。而对图像的应用研究往往仅限于某一尺度或某些尺度上的现象，或者只需要某些尺度的信息：其它尺度的信息往往会对处理结果有不良影响，或者增大了处理的难度和复杂性。所以把图像信息按尺度进行分离十分必要。多尺度图像分解可以消除其他无用尺度信息对处理结果的影响，也简化了处理的难度和复杂性：也是图像目标识别和边缘检测等处理过程的预处理方法之一。

经验模分解方法是一种适用于非静态和非线性数据的分解方法，该方法是直接的、后验的和自适应的，该种分解具有完备性和准正交性 。

图像可以分解为结构和纹理2大部分，其中的结构信息体现的是图像的整体框架，包含图像的边缘等重要的描述信息，而纹理信息体现的是图像框架中的细节部分。

TV模型容易在各向异性扩散的过程中，将平滑区域噪声作为边缘而产生阶梯效应，而分解出来的结构图像，去除了图像的噪声。因此，对图像的结构部分使用基于TV模型图像修复，就能避免噪声干扰引入的阶梯效应，但是此时还存在一个问题，利用结构图像进行TV模型的扩散修复，仅能避免原来图像中噪声对图像造成的阶梯效应，而对于图像中的边缘部分图像梯度变化大的地方即图像的特征点，如还沿着梯度的垂直方向扩散，则必然会造成图像特征点的迷糊化，因此，为保证图像的特征点的保持，必须在修复过程中将图像的特征点提取出，保证对特征点不沿着图像的梯度正交方向扩散。

在图像的结构部分采用以下的修复方程：

该修复方程利用图像分解技术提取图像结构部分，避免了原始TV模型容易引入的阶梯效应，防止修复结果出现假边缘，同时，对于图像中存在的特征点能很好地实现保留。

将图像分解成有效的几个部分的这一技术在图像处理的领域是很重要并且具有挑战性的逆问题。这种分解的大概思想就是把原始图像f看成两部分，即