矩阵论与数值分析:理论及其工程应用

本教材根据（全日制、在职）工程硕士研究生的特点和培养创新型人才的要求，将矩阵论与数值分析的有关理论与方法按内容体系编写.全书共6章，分别是矩阵运算与矩阵分解、线性空间与线性变换、矩阵的若尔当标准形与矩阵函数、方程与方程组的数值解法、数值逼近方法与数值微积分、常微分方程的数值解法.为提高工程硕士研究生应用数学方法和科学计算解决实际问题的能力，各章最后一节给出了一些应用案例，对一些重要的问题给出了求解问题的MATLAB程序.

本书可供工程硕士研究生以及理工科非计算数学专业的大学生阅读，也可供科技工作者参考.

第1章 矩阵运算与矩阵分解/1

1.1 矩阵及其基本运算1

1.1.1 矩阵及其基本运算回顾1

1.1.2 矩阵的初等变换3

1.2 矩阵分解及其在解线性方程组中的应用10

1.2.1 矩阵的三角分解（LU分解） 10

1.2.2 矩阵的正交三角分解（QR分解）18

1.2.3 矩阵的满秩分解20

1.2.4 矩阵的奇异值分解21

1.3 矩阵的特征值与特征向量23

1.3.1 特征值与特征向量24

1.3.2 特征值的估计27

1.3.3 求主特征值及其特征向量的幂法29

1.3.4 QR方法简介31

1.4 矩阵的广义逆及其应用33

1.4.1 广义逆矩阵A-33

1.4.2 广义逆A 36

1.5 应用案例39

1.5.1 电力系统小干扰稳定性分析39

1.5.2 火力发电机组热功效率的在线计算43

1.5.3 奇异值与特征值分解在谐波源定阶中的等价性47

本章小结49

习题150

第2章 线性空间与线性变换/53

2.1 线性空间53

2.1.1 集合与映射53

2.1.2 线性空间54

2.1.3 线性空间的基、维数与坐标55

2.1.4 线性子空间60

2.2 赋范线性空间与矩阵范数64

2.2.1 赋范线性空间64

2.2.2 矩阵的范数65

2.3 内积空间69

2.3.1 内积的定义与性质 69

2.3.2 向量的正交性与施密特（Schmidt）正交化方法71

2.4 矩阵分析初步77

2.4.1 矩阵序列的极限77

2.4.2 矩阵级数78

2.4.3 矩阵幂级数79

2.4.4 矩阵的微分和积分 81

2.5 线性变换82

2.5.1 线性变换的定义与性质82

2.5.2 线性变换与矩阵85

2.5.3 线性变换的特征值与特征向量88

2.5.4 正交变换89

2.6 应用案例90

2.6.1 电路变换及其应用90

2.6.2 基于正交分解的MOA泄漏电流有功分量提取算法96

2.6.3 基于范数的唯一稳态消谐法及其应用101

2.6.4 线性变换在求高阶线性常微分方程特解中的应用104

本章小结107

习题2108

第3章 矩阵的若尔当标准形与矩阵函数/112

3.1 λ矩阵及其史密斯（Smith）标准形112

3.2 矩阵的若尔当标准形115

3.3 最小多项式119

3.4 矩阵函数125

3.5 应用案例128

3.5.1 矩阵函数在求解电路暂态响应中的应用128

3.5.2 线性系统的能控性与能观性129

3.5.3 一阶线性常系数微分方程组和高阶线性常微分方程的

初值问题的求解132

本章小结136

习题3137

第4章 方程与方程组的数值解法/140

4.1 线性方程组的迭代法140

4.1.1 迭代法的构造140

4.1.2 迭代法的收敛性与收敛速度142

4.1.3 几个常用的迭代法144

4.2 线性方程组的共轭梯度法152

4.2.1 共轭方向法152

4.2.2 共轭梯度法153

4.3 非线性方程的数值解法156

4.3.1 根的隔离与求方程实根的二分法和试位法157

4.3.2 不动点迭代法162

4.3.3 牛顿迭代法169

4.4 解非线性方程组的迭代法173

4.4.1 不动点迭代法174

4.4.2 牛顿迭代法175

4.5 应用案例178

4.5.1 电力系统潮流计算的数学模型及基本解法178

4.5.2 管路计算186

4.5.3 气-液平衡计算190

4.5.4 架空导线的应力计算193

本章小结194

习题4195

第5章 数值逼近方法和数值微积分/198

5.1 多项式插值198

5.1.1 插值问题与插值多项式198

5.1.2 拉格朗日(Lagrange)插值201

5.1.3 均差与牛顿插值公式 205

5.1.4 埃尔米特(Hermite)插值211

5.2 数值积分214

5.2.1 数值求积公式及代数精度215

5.2.2 插值型求积公式216

5.2.3 等距节点的求积公式217

5.2.4 复化求积公式219

5.2.5 龙贝格(Romberg)求积法222

5.2.6 高斯(Gauss)型求积公式227

5.3 数值微分231

5.3.1 泰勒展开法求数值微分232

5.3.2 用插值多项式求数值微分233

5.3.3 将数值微分转化为求数值积分236

5.4 应用案例237

5.4.1 混频器中变频损耗的数值计算237

5.4.2 梯形平坡明渠的数值积分水力计算239

本章小结242

习题5243

第6章 常微分方程的数值解法/247

6.1 常微分方程初值问题的欧拉方法247

6.1.1 欧拉(Euler)法248

6.1.2 梯形法250

6.1.3 预测-校正法(改进欧拉法)251

6.1.4 局部截断误差253

6.2 龙格-库塔方法254

6.3 线性多步法259

6.4 边值问题的差分方法和打靶法简介262

6.4.1 解线性方程边值问题的差分方法262

6.4.2 打靶法264

6.5 应用案例265

6.5.1 无源元件的“瞬态伴随模型”的建立265

6.5.2 磁流体发电通道的数值计算270

6.5.3 平面温度场计算问题272

本章小结274

习题6275

参考答案/277

参考文献/2892100433B