几何体

前段时间在高三教学中遇到这样的问题：

在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如：判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，都必须首先掌握空间几何体截面的作图。

在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题。而已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题的一个方法，也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径。

作几何体的截面，是立休几何教学中的一个难点，需要较强的空间想象能力和动手操作能力，正确判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置。让学生掌握作几伺体截面的方法，有助于深入理解直线和平面的有关性质，有效地形成空间概念。

一个平面截一个几何体，这个平面和几伺体的各个面交线，围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形就称为几何体的截面。如果几何体是多面体，其截面是多面形；如果几何体是旋转体，其截面还可能是二次曲线所围成的封闭图形。

截面的问题的研究，对于发展学生的空间想象能力，综合运用立体几何各方面的知识技能，提高学生的解题能力，都是十分有启发、思考价值的题材、是立体几何重要的学习目的；而对学生进行空间几何体截面的作图等训练正是培养和发展学生的这一能力，同时也成为了促进学生综合运用空间构图方面知识开发教学兴趣点的拓展课题。

接下来小编从原理和操作两个层面介绍较复杂的不平行于底面的截面问题的解决方案以供参考。

空间几何体的截面的作图主要原理：两个公理及两个性质。

其中，两个公理为：

（1）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线；

（2）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

两个性质为：

（1）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；

（2）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行。

空间几何体的计算要掌握好“定位”、“定形”、“定量”这三个主要的环节。首先，由上面所讲到的方法确定出关键点。其次，由关键点确定截面与空间几何体相关的交线。再次，是根据问题中已知的条件与空间点、线、面的位置关系确定截面的基本特征。最后，运用平面解析几何的有关性质定理与判定定理完成截面相关截面边长、周长、或者面积等数量计算。

空间几何体的截面作图主要的作法：直接法、平行线法、延长法、辅助平面法，接下来，我们依次展开。

一、直接法

用直接法解决截面问题的关键是：截面上的点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，我们可以借助于公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内，直接解决这类问题。

二、平行线法

用平行线法解决截面问题的关键是：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与截面上某点在几何体的某一个表面平行。我们可以借助于两个性质，（1）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；（2）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行。直接解决这类问题。

三、延长线法

用延长线法解决截面问题的关键是：截面上的点中至少有两个点在一个几何体的一个表面上，我们可以借助于公理，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。直接解决这类问题。

四、辅助平面法