阻尼模型

阻尼模型由于阻尼材料内部结构的复杂性，材料的阻尼特性也是很复杂的，要想建立一个精确的数学模型来表示其性能也比较困难。对于阻尼材料来说，应力、应变、时间、温度等变量之间的函数关系通常是非线性的，表示材料特性的状态方程又受到诸如外力、温度场、磁场、化学反应和辐射等外部环境的干扰。因此，描述材料的阻尼特性通常都采用近似的表示方法。

人们在长期的研究过程中已经建立了几种阻尼模型，包括标准线性模型、通用化标准模型、复模量模型、分数导数模型、GHM模型等。这些模型具有各自不同的特点和适用范围，下面分别加以介绍。

阻尼模型标准线性

对于一些小阻尼的材料，或者对于在一定的限制范围内(如小振幅情况下)聚合材料等大阻尼材料，可以用标准线性模型来描述。其状态方程是一种线性模型表示法：

σ α′dσdt=Eε δ′Edεdt(1)

式中E为弹性模量，α′为应力衰减常数，δ′为应变衰减常数。可以看出，该式形式简单，所以使得计算简单。但是与其它方法相比，它的使用范围受到很大的限制，只能在前面所说的小范围内使用。根据应用情况，这种模型主要用在地表环境中。比如范家参用该模型对固体在半平面内传播的地震波进行了计算，得到了地震波的解析解。杜启振等人在弱黏滞性条件下采用该模型对粘弹性波在地球介质中的传播用有限元方法进行了计算，得到了波场传播特征。孙昱等人将桩周围的土对桩的作用以标准线性固体模型来表示，研究了桩周土对桩的动力作用 。

阻尼模型通用化标准

为了减少上述模型在使用时的限制，可以在(1)式中引入σ和ε的导数项，使它更符合实际情况，这时得到：

σ ∑∞n=1α′ndnσdtn=Eε E∑∞n=1δ′ndnεdtn(2)

式中E为弹性模量，α′n为应力衰减常数，δ′n为应变衰减常数。n为导数项的阶数，其值可以根据实际情况适当的选择。这种模型是标准模型的推广，主要用于理论分析上，在实际中由于其实际计算的复杂性而应用较少。由于粘弹性材料(VEM)的剪切模量随温度和频率的变化而变化，以上的模型的应用无法描述这一特性，所以一般只适用于弱粘弹性材料。而以下的几种模型主要用于对各种VEM进行计算。其中用得较多的就是复模量模型。

阻尼模型复模量

复模量模型又分为复常数模量和频变复模量模型，是分析粘弹性材料结构动力学响应特性较为有效的方法 。

复常数模量模型在许多的研究中均用复常数模量形式，即：

E=ER jEI=ER(1 jη)(3)

式中ER是存贮模量，表示存贮能量的能力;EI是损耗模量，表示能量的耗散程度;j=-1，是虚数单位;η是材料的损耗因子，有：

η=EIER(4)

在文献中还有这样一种复模量的定义：

E*=σε=σ0ε0(cosα isinα)(5)

对比(3)式和(5)式可得：

弹性模量E=σ0ε0cosα(6)

损耗因子η=tgα(7)

则粘弹性材料的应力-应变关系为：

σ=E*ε=E(1 iη)ε(8)

上述模型中，各量均为常数，并没有考虑频变特性，因此其适用范围只限于频变较小的情况。比如黄润秋等人在对隧址区山体的地震动作用特点进行研究的过程中，采用复模量模型很好的模拟了岩石体的动力学性能。Rikards等构建了复合夹层梁、板的超级单元，夹层粘弹性材料特性采用了复模量模型进行描述，但是没有考虑粘弹性材料特性随频率而变化的事实。秦惠增等人借助有关粘弹性材料结构动力学分析的复模量模型，推出简谐激励作用下形状记忆合金(SMA)层面内的变形和应力之间的关系。

频变复模量模型

复常数模量模型虽然可以使得计算简单，但是不能反映出材料的频变性质。人们为了反映材料的频变性质，通过实验方法由数据拟合来得到频变的复模量：

E(ω)=ER(ω)(1 jηv(ω))(9)

则粘弹性材料的应力-应变关系为：

σ=E(ω)ε=ER(ω)(1 jηv(ω))ε(10)

其中：ER(ω)=aEωbE，ηv(ω)=aηωbη

aE、aη及bE、bη均为拟合常数。频变复模量模型可以反映VEM的频变特性，与常数复模量模型相比，其适用范围更加广泛，结果也更准确。比如粱军用该模型对复合材料的动态粘弹性能进行了研究，分析了材料复模量随夹杂体积分数、载荷频率之间的变化规律。任志刚等人采用频变复模量模型模拟了夹层粘弹性材料特性的频率相关性，并提出了采用模态应变能迭代及复特征值迭代求解复合夹层结构的各阶频率及损耗因子的方法。但与复常数模量模型一样，它无法揭示VEM的力学本质，计算也较为复杂。2100433B

阻尼是材料的三大功能特性(超塑性、阻尼特性和形状记忆特性)之一，它能够将材料的机械振动能量通过内部机制不可逆地转变为其它形式的能量(通常是热能)。因为机械振动能的耗散是通过内部机制来完成的，所以材料的这种性质也称为内耗(低频时)或超声衰减(高频时)。与其它两大功能特性相比，阻尼特性得到了最为广泛的应用，有着十分重要的研究价值和应用价值。

阻尼一般可以分为3类：系统阻尼、结构阻尼以及材料阻尼。系统阻尼是在系统中设置专用阻尼减振器，如减振弹簧、冲击阻尼器等。结构阻尼是在系统的某一振动结构上附加材料或形成附加结构，增加自身的阻尼能力。材料阻尼是材料本身所具有的阻尼特性。与其它两种阻尼相比，材料阻尼是最基本的阻尼形式，存在于各种材料之中，由于其广泛而重要的应用价值，很多人对它进行了广泛而深入的研究。研究材料阻尼很重要的方法就是建立一个能反应材料阻尼本构关系的理论模型，即材料阻尼模型。

阻尼系数阻尼模型

结构阻尼是对振动结构所耗散的能量的测量，通常用振动一次的能量耗散率来表示结构阻尼的强弱。典型结构体系的真实阻尼特性是很复杂和难于确定的。近几十年来，人们提出了多种阻尼理论假设，在众多的阻尼理论假设中，用得较多的是两种线性阻尼理论：粘滞阻尼理论和复阻尼理论（滞变阻尼理论）。

粘滞阻尼理论可导出简单的运动方程形式，因此被广泛应用。可是它有一个严重的缺点，即每周能量损失依赖于激励频率。这种依赖关系是与大量试验结果不符的，试验结果表明阻尼力和试验频率几乎是无关的。因此，自然期望消除阻尼力对频率的依赖。这可以用称为滞变阻尼的形式代替粘滞阻尼来实现。滞变阻尼可定义为一种与速度同相而与位移成比例的阻尼力。在考虑阻尼时在弹性模量或刚度系数项前乘以复常数 即可，v为复阻尼系数。复阻尼理论对于一般的结构动力响应来说，计算过程非常复杂，因此，在动力响应分析中，复阻尼理论应用不多，本文限于篇幅，也就不再展开了。

粘滞阻尼理论假定阻尼力与运动速度成正比，通常是用不同频率的阻尼比ζ来表征系统的阻尼：

粘滞阻尼理论最显著的特点在于其阻尼力是直接根据与相对速度成正比的关系给出的，不论是简谐振动或是非简谐振动，都可直接写出系统的运动方程，而且均为线性微分方程，给理论分析带来了很大的方便。

在多自由度系统中采用等效粘滞模态阻尼，阻尼力向量的表达式为

若[C」可以通过模态向量正交化为对角矩阵时，则称为正交阻尼或比例阻尼。反之，则称之为非正交阻尼。因为无阻尼振型对质量和刚度都是正交的。所以为方便计算，通常假设振型对阻尼矩阵也是正交的。最简单的方法是使其与质量矩阵或者刚度矩阵成比例。或许这就是比例阻尼这一名称的来历。正交阻尼原则上适用于阻尼特性分布比较均匀的工程结构。但是，对于多于一种材料组成的结构，由于不同材料在结构的不同部分提供的能量损失机制差别很大，所以阻尼力的分布将与惯性力和弹性力的分布不同；换句话说，这种情况导致的阻尼将不是成比例的。

Rayleigh阻尼模型是广泛采用的一种正交阻尼模型，其数学表达式如下：

C=a0M a1K （2）

式中， a0和a1称为Rayleigh阻尼常数。

在Rayleigh阻尼模型下，各阶阻尼比可表示为

式中ζi称为第i阶振型的模态阻尼比，因此若已知任意两阶振型的阻尼比ζi和ζj，则可定出阻尼常数

确定了a0和al之后，即可确定出各阶振型的模态阻尼比，并确定阻尼矩阵。

阻尼选取对实际抗震分析的影响

目前，桥梁地震反应分析一般以直接积分的时程分析方法为主。其阻尼模型取Rayleigh阻尼模型，并以主塔或主梁的两个较低阶振型频率ωi和ωj对应的阻尼比作为ζi和ζj，接式（3）和式(4) 求出其余各阶频率的阻尼比，并求出阻尼矩阵代入动力方程，用直接积分的方法求解动力方程。这样处理阻尼虽然非常简单，但也产生了以下两个不可忽视的问题：

（1）如前所述，Rayleigh阻尼作为一种正交阻尼，适用于阻尼特性分布非常均匀的工程结构。但是大跨桥梁一般来说都不能算作非常均匀的结构。例如，为了提高桥梁的跨越能力，主梁一般采用钢箱梁或钢混叠合梁，而主塔和边墩则采用钢筋混凝土材料，两者的阻尼特性相差比较大。即使主梁材料特性与主塔差不多，大跨桥梁由于抗风和抗震的要求，经常会在桥梁结构的某些部位加有人工阻尼装置，比如桥墩上安放高阻尼的抗震支座、桥塔上安放控制振动的装置TMD等，这都会产生摩擦阻尼或集中阻尼从而造成阻尼特性的不均匀分布。这样的阻尼均匀性前提得不到满足的情况下，仍按照 Rayleigh阻尼模型去计算各阶振型对应的阻尼比势必会造成除ωi和ωj两阶之外其他各阶振型阻尼比与真实值有或多或少的差别。

（2）根据同济大学土木防灾国家重点实验室对国内几十座大跨桥梁进行抗震分析后总结的经验，边墩。辅助墩等部位是大跨桥梁抗震设施的重点。但是采用Rayleigh阻尼模型时，用于计算其他各阶振型阻尼比的ωi和ωj一般取的是较低阶的振型，而边墩辅助墩的振动一般都发生在高阶振型。根据Rayleigh阻尼模型图，可以看出离ωi和ωj越远的振型，其阻尼比就越不准，而且随着图上阻尼比按频率增加的速度越来越快，边墩部分振动频率对应的阻尼比比实际值往往偏大，从这一点讲会导致边墩部分反应的计算结果偏于不安全。

一些桥梁抗震研究人员已经注意到了以上两个问题，他们采取的措施是根据分析的部位不断变换所选择的ωi和ωj，比如计算桥塔的纵向地震反应时就选择对桥塔的纵向反应起主要作用的两阶频率作为ωi和ωj，来计算其它各阶阻尼比，计算其它地震反应时也依此类推。这样就需要分析人员不断的重复选择。和约和进行时程计算，十分繁琐。

阻尼系数解决方法

由以上论述，我们已经了解到阻尼是一个非常复杂的问题，仅仅依靠Rayleigh阻尼模型，会对大跨桥梁尤其是边墩辅助墩等部位的地震反应分析出现不应有的误差。因此，我们尝试寻找一种既不过分繁琐又比较准确的方法。

在前面的论述中，我们发现阻尼比是反应阻尼的一个方便而有效的量，它把阻尼特性和振型频率联系起来，使得动力方程分析起来更为简单，而且阻尼比可以通过桥梁实测测出。

如果我们直接指定对桥塔。主梁、边墩等重要部位反应起主要作用的一些振型频率的阻尼比，而对其余各阶振型频率的阻尼比采用线性内插的方法确定，这样做也可以形成阻尼比矩阵。由于我们通过以前的工程实例发现结构各部位的反应来说少数几阶振型的贡献最为显著（这些振型的贡献占到70%～ 80%，甚至更多），因此，这样做能够保证计算的正确性，而且并不繁琐，此对，以实测试验数据作为基础，更增加了其准确性。同济大学桥梁系近十几年来，通过为国内几十座大型桥梁进行竣工检测、成桥检测积累了大量的阻尼实测资料，并有研究人员准备把这些阻尼资料整理形成桥梁阻尼数据库。有了这些数据资料为基础，通过指定主要振型频率阻尼比，来计算结构动力反应是行得通的，并且结合下面的振型叠加法，会使计算更加简便。

阻尼一般可以分为3 类：系统阻尼、结构阻尼以及材料阻尼。系统阻尼是在系统中设置专用阻尼减振器，如减振弹簧、冲击阻尼器等。结构阻尼是在系统的某一振动结构上附加材料或形成附加结构，增加自身的阻尼能力。材料阻尼是材料本身所具有的阻尼特性，它代表了依靠材料本身的阻尼特性消耗机械振动能的能力。与其它两种阻尼相比，材料阻尼是最基本的阻尼形式 ，存在于各种材料之中。 探究材料内部的微观机理，寻求具有高阻尼的材料；在阻尼材料也有着大量的研究，比如像金属橡胶这样的各向异性材料、热熔型阻尼材料、粘滞阻尼材料、各种复合阻尼材料等。总的来说阻尼材料分为粘弹性阻尼材料、高阻尼合金以及复合阻尼材料三种，这些阻尼材料在很多领域都发挥着重要作用。研究材料的阻尼行为，开发具有较高阻尼性能的结构材料，对于解决由振动造成的问题具有十分重要的意义。对结构件的材料阻尼特性进行定量的测量及计算，能够为机械设备的结构设计和生产提供十分重要的参考依据，因此材料阻尼特性测量是减振降噪技术中重要的一个环节。

最常用的材料阻尼测试方法，是参照国标《GBT18258-2000 阻尼材料 阻尼性能测试方法》等阻尼测试标准，将被测材料制作成标准试样，通过激振器等激励手段，激发试样的阻尼振动，获得其共振响应信号，经过数据处理计算出材料阻尼比。材料阻尼测试问题可以归结为系统辨识问题，包括系统、激励和响应三个部分。在材料阻尼测试的问题中，系统即是材料阻尼试样本身，它的阻尼特性参数就是需要识别的系统参数。系统的激励信号由我们给定，通常是瞬态的冲击信号、或者持续激励的扫频信号，激励信号可以通过信号采集直接获得。系统的响应信号就是材料阻尼试样在被激励之后的振动信号，需要使用仪器进行数据采集和数据处理 。

在电学中，差不多就是响应时间的意思。 在机械物理学中，系统的能量的减小——阻尼振动不都是因“阻力”引起的，就机械振动而言，一种是因摩擦阻力生热，使系统的机械能减小，转化为内能，这种阻尼叫摩擦阻尼；另一种是系统引起周围质点的震动，使系统的能量逐渐向四周辐射出去，变为波的能量，这种阻尼叫辐射阻尼。 摩擦需要稳定的时间！