《结构动力学》

前言

主要符号表

第1章绪论

1.1结构动力学概述

1.2动力荷载

1.2.1简谐荷载

1.2.2非简谐周期荷载

1.2.3冲击荷载

1.2.4任意动荷载

1.3结构动力问题的特点

1.4结构离散化方法

1.4.1集中质量法

1.4.2广义坐标法

1.4.3有限单元法

习题

第2章动力学基础及运动方程的建立

2.1动力学基础

2.1.1动力自由度

2.1.2基本动力系统元件

2.1.3动力系统类型

2.2运动微分方程的建立

2.2.1动力平衡法

2.2.2虚位移原理

2.2.3Hamilton原理

2.2.4Lagrange方程

2.3重力的影响

2.4地基运动的影响

习题

第3章单自由度体系

3.1自由振动反应

3.1.1无阻尼自由振动

3.1.2有阻尼自由振动

3.1.3阻尼及其测量

3.2简谐荷载反应

3.2.1无阻尼体系的简谐荷载反应

3.2.2有阻尼体系的简谐荷载反应

3.2.3动力放大系数

3.2.4共振反应

3.2.5阻尼比的求解

3.3周期荷载反应

3.4冲击荷载反应

3.4.1正弦波脉冲

3.4.2矩形脉冲

3.4.3三角形脉冲

3.5任意荷载的反应

3.5.1Duhamel积分（时域分析）

3.5.2Fourier变换（频域分析）

3.6振动的能量

3.6.1自由振动过程中的能量

3.6.2粘性阻尼体系的能量耗散

3.6.3等效粘性阻尼

3.6.4复阻尼

3.6.5摩擦阻尼

3.7结构振动试验

3.7.1振动试验简介

3.7.2激振设备

3.7.3测振仪器

3.7.4数据采集分析系统

3.8隔振原理

3.8.1积极隔振

3.8.2消极隔振

习题

第4章多自由度体系

4.1两个自由度体系

4.1.1运动方程的建立

4.1.2无阻尼自由振动

4.1.3振型

4.1.4运动方程的一般解

4.2无阻尼自由振动

4.2.1运动方程的建立

4.2.2振型

4.2.3振型的正交性

4.2.4广义质量和广义刚度

4.3有阻尼体系的受迫振动

4.3.1坐标的耦联与正则坐标

4.3.2阻尼假设

4.3.3振型叠加法

4.4动力特性的实用计算方法

4.4.1Dunkerley公式

4.4.2Reyleigh能量法

4.4.3Ritz法

4.4.4矩阵迭代法

4.4.5子空间迭代法

4.5动力反应数值分析方法

4.5.1中心差分法

4.5.2平均常加速度法

4.5.3线性加速度法

4.5.4Newmark—β法

4.5.5Wilson-θ法

4.6动力分析中的有限元法

4.6.1有限单元法的一般过程

4.6.2动力分析中的有限元法

4.6.3梁的位移模式和形函数

4.6.4单元刚度矩阵

4.6.5质量矩阵

4.6.6阻尼矩阵

4.6.7等效结点荷载

习题

第5章无限自由度体系

5.1无阻尼直梁的轴向振动

5.2无阻尼梁的横向自由振动

5.3有阻尼梁在一般荷载作用下的偏微分运动方程

5.4振型的正交性

5.5振型叠加法

5.5.1广义质量

5.5.2广义荷载

5.6轴向力、剪切变形和转动惯量对振动方程的影响

5.6.1考虑轴向力影响的梁的振动方程

5.6.2转动惯量对振动方程的影响

5.6.3考虑转动惯量与剪切变形的梁振动方程

5.7简支梁在移动荷载作用下的振动

5.8板的横向自由振动

习题

第6章结构随机振动

6.1概述

6.2随机过程

6.2.1随机过程的概念

6.2.2随机过程的概率描述

6.2.3随机过程的数字特征

6.2.4平稳随机过程

6.2.5几种重要的随机过程

6.2.6地震地面运动的随机模型

6.3线性单自由度体系随机反应

6.3.1时域分析方法

6.3.2频域分析方法

6.3.3激励和反应的互相关函数和互谱密度

6.4线性多自由度体系随机反应

6.4.1直接方法

6.4.2振型叠加法

6.5非线性结构随机反应分析

6.5.1摄动法

6.5.2等效线性化方法

6.6结构随机反应分析的状态空问法

6.6.1状态空间的基本概念

6.6.2单自由度体系

6.6.3多自由度体系

习题

第7章结构动力学若干研究课题

7.1结构地震反应分析

7.1.1建筑结构地震作用计算方法简介

7.1.2单自由度弹性体系的水平地震作用

7.1.3地震反应谱

7.1.4振型分解反应谱法

7.1.5底部剪力法

7.2结构振动控制

7.2.1概念及分类

7.2.2粘弹性阻尼器减振技术

7.2.3橡胶基础隔震技术

7.2.4磁流变阻尼器减振技术

7.3模态分析与理论

7.3.1模态参数

7.3.2实模态分析

7.3.3复模态分析

7.4结构动力损伤识别

7.4.1频率基损伤识别方法

7.4.2模态基损伤识别方法

7.4.3基于刚度变化的损伤识别方法

7.4.4基于柔度变化的损伤识别方法

7.4.5基于能量的损伤识别方法

7.4.6动力损伤识别研究展望

7.5动力分析非线性问题

7.5.1动力分析中的物理非线性问题

7.5.2动力分析中的几何非线性问题

7.6子结构法

7.6.1子结构法有限元分析

7.6.2子结构法损伤识别

习题

参考文献2100433B

本书是在作者多年从事结构动力学的教学及研究工作的基础上撰写而成。书中在介绍基本概念和基础理论的同时，也介绍了结构动力学领域的若干前沿研究课题。本书既注重读者对基本知识的掌握，也注重读者对结构振动领域研究发展方向的掌握。

本书的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、*振动、结构动力学的前沿研究课题。书中侧重介绍单自由度体系和多自由度体系，重点突出。

本书可作为土木工程、机械工程、力学、航空等相关学科的本科生和研究生的教学用书，也可以作为从事结构振动、模态分析与测试等方面工作的研究人员和工程技术人员的参考用书。

本书是土木工程研究生系列教材之一。本书在介绍基本概念和基本理论的同时，注重介绍本研究领域的前沿动态和存在的关键性问题，注重读者解决问题能力的培养和研究发展方向的指点。 本书通过对单自由度体系、多自由度体系和分布参数体系的系列介绍，使读者系统掌握结构动力学的基本理论和分析方法；通过结构动力问题分析中的数值分析方法、离散化分析和随机振动分析的系列介绍，使读者初步具有分析和解决结构动力学的理论研究和实际工程问题的能力。

本书可作为大土木专业研究生的教材和从事土木工程研究的技术人员学习参考书。

结构动力学的研究内容包括实验研究和理论分析两个方面。

结构动力学实验研究

在18～19世纪，大量的实验研究不仅为理论分析奠定了基础，而且成为当时解决实际工程问题的主要手段。例如，19世纪对桥梁和路轨在移动载荷作用下的响应所作的实验，曾对铁路运输工程的发展作出重要贡献。即使在理论分析已较为完善的今天，实验仍不可缺少。20世纪60年代，美国在研制土星V运载火箭时就不惜耗费50万美元，制作一个1/10的动力相似模型，以测定其动力特性。至于材料和结构阻尼特性的测定、振动环境试验等工作，则主要依靠实验研究。

结构动力学实验中有以下几个课题：①材料性能的测定：包括测定动态应力－应变曲线、冲击载荷作用下的极限强度(见材料的力学性能)、重复载荷作用下的疲劳强度(见疲劳)、材料或结构的阻尼特性等;②结构动力相似模型的研究：包括各种情况下的动力相似条件、相似模型的设计和制作等;③结构固有(自由)振动参量的测定:对结构或其相似模型施加一定方式的激励，如频率可调的简谐力、冲击力或随机力，然后根据响应确定结构的固有频率、振动形态(振型)以及振型阻尼系数等参量；④振动环境试验：在现场或在能模拟振动环境的试验台上对结构或其相似模型进行振动试验，用以确定结构的工作可靠性或使用寿命；⑤其他专业性试验。

结构动力学理论分析

结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。

（1）教学模型

将结构离散化的方法主要有以下三种：①集聚质量法：把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。由于仅是这些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由度。对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效。②瑞利－里兹法(即广义位移法)：假定结构在振动时的位形(偏离平衡位置的位移形态)可用一系列事先规定的容许位移函数f_i(它们必须满足支承处的约束条件以及结构内部位移的连续性条件)之和来表示，例如，对于一维结构，它的位形u(x)可以近似地表为：

式中的q_j称为广义坐标，它表示相应位移函数的幅值。这样，离散系统的运动方程就以广义坐标作为自由度。对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。③有限元法：可以看作是分区的瑞利－里兹法，其要点是先把结构划分成适当数量的区域(称为单元)，然后对每一单元施行瑞利－里兹法。通常取单元边界上(有时也包括单元内部)若干个几何特征点(例如三角形的顶点、边中点等)处的广义位移q_j作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的插值函数作为单元内部的位移函数(或称形状函数)。在这样的数学模型中，要求形状函数的组合在相邻单元的公共边界上满足位移连续条件。一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。

（2）载荷确定

载荷有三个因素，即大小，方向和作用点。如果这些因素随时同缓慢变化，则在求解结构的响应时，可把载荷作为静载荷处理以简化计算。载荷的变化或结构的振动是否“缓慢”，只是一个相对的概念。如果载荷的变化周期在结构自由振动周期的五、六倍以上，把它当作静载荷将不会带来多少误差。若载荷的变化周期接近于结构的自由振动周期，即使载荷很小，结构也会因共振(见线性振动)而产生很大的响应，因而必须用结构动力学的方法加以分析。

动载荷按其随时间的变化规律可以分为：①周期性载荷，其特点是在多次循环中载荷相继呈现相同的时间历程，如旋转机械装置因质量不平衡而引起的离心力。周期性载荷可借助傅里叶分析分解成一系列简谐分量之和。②冲击载荷，其特点是载荷的大小在极短的时间内有较大的变化。冲击波或爆炸是冲击载荷的典型来源。③随机载荷，其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。由大气湍流引起的作用在飞行器上的气动载荷和由地震波引起的作用在结构物上的载荷均属此类。对于随机载荷，需要根据大量的统计资料制定出相应的载荷时间历程(载荷谱)。对于前两种载荷，可以从运动方程解出位移的时间历程并进一步求出应力的时间历程。对于随机载荷，只能求出位移响应的统计信息而不能得到确定的时间历程，因而须作专门分析才能求出应力响应的统计信息。

在结构动力学分析中，动载荷的确定是一项重要而困难的工作。近年来发展的“载荷识别”是一项新技术，它根据结构在实标工作情况下测得的响应资料反推结构所受到的载荷资料。

（3）运动方程

可用三种等价但形式不同的方法建立，即：①利用达朗伯原理引进惯性力，根据作用在体系或其微元体上全部力的平衡条件直接写出运动方程；②利用广义坐标写出系统的动能、势能、阻尼耗散函数及广义力表达式，根据哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程；③根据作用在体系上全部力在虚位移上所作虚功总和为零的条件，即根据虚功原理导出以广义坐标表示的运动方程。对于复杂系统，应用最广的是第二种方法。

通常，结构的运动方程是一个二阶常微分方程组，写成矩阵形式为：

式中q(t)为广义坐标矢量，是时间t的函数，其上的点表示对时间的导数；M、D、K分别为对应于q(t)的结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，Q(t)是广义力矢量。

（4）方程解法

运动方程(2)可用振型叠加法或逐步积分法求解。

①振型叠加法 先求出结构作自由振动时的固有频率和振型，然后利用求得的振型作为广义位移函数再对运动方程作—次坐标变换，进而求出方程的解。

一个n个自由度的结构具有n个固有频率ω_j和n个振型φ_j(j=1，2，…，n)。φ_j规定了n个广义坐标q_i(i=1，2，…，n)在第j个振型中的相对大小。振型满足下列关系式：

式中上标“T”为矩阵转置符号；M_j为第j个振型的广义质量。i≠j时的关系式称为振型的正交条件。正交条件在物理上意味着不同的振型之间不存在能量交换，即结构在作自曲振动时各个振型都是独立进行的。振型叠加法可以有条件地用于有阻尼的情况。若结构的阻尼矩阵可表为：

D=αKβM， (4)

式中α和β是常数，则称之为比例阻尼矩阵。对应的振型满足

式中ξ_j称为第j个振型的阻尼系数。同时，有阻尼的自振频率将改变为

条件(4)还可放宽为

通过振型及相应的广义坐标Y_j(t)，可将方程(2)中的广义坐标矢量q(t)表示为：

代入方程(2)，并左乘以，利用正交条件(3)和(5)，可将方程(2)转化为：

式中P_j(t)=φ_j-Q(t)是对应于第j个振型的广义力。方程(7)可以通过时域分析法或频域分析法求解。时域分析法是利用卷积积分给出方程(7)的解，可用于任意变化的载荷情况。频域分析法是利用傅里叶分析把周期性载荷展开为一系列简谐分量之和，然后计算结构对每一简谐分量的响应，最后叠加各简谐响应项而获得结构的总响应。这种方法适用于周期性载荷情况。对于非周期性载荷，也可以利用傅里叶变换技术。1965年出现了快速傅里叶变换——一种用计算机计算离散傅里叶变换的方法，它在效率和功能方面的优点，使得频域分析方法能和传统的时域分析方法相媲美，并正在引起结构动力学领域的变革。

由于运动方程(7)可以逐个独立地求解，使得振型叠加法具有很大的优越性，因而它已成为结构动力学中一个应用最广泛的分析方法。对于大多数类型的动载荷，各个振型的响应是不同的，一般是频率最低的振型响应最大，高频振型的响应则趋向减小，因而在叠加过程中只需要计及频率较低的若干项，若得到的响应已达到精度要求，就可舍弃频率较高的各项，从而可以大大减少计算工作量。振型叠加法只适用于线性振动问题。

②逐步积分法 可用于直接求解耦合的运动方程(2)，而且对阻尼矩阵的性质不需要附加任何限制，也适用于使振型叠加法失效的非线性结构系统的动力分析，因此是一种普遍适用的方法。该法是把时间划分为一系列很短的时段，按照初始条件确定初始时刻的广义位移q和广义速度，通过运动方程(2)解出广义加速度，然后可设在这一时段内为常量，通过积分求出在这一时段结束时刻的q和值，并以它们作为下一时段的初始值，如此一步一步求解下去，就能得到最终的结果。如果结构是非线性系统，同样可假设结构参量(如刚度)在每一时段内是常量并取为该时段开始时刻的瞬时参量值。逐步积分法是一种近似的方法，为了减小积累误差，必须把时段取得非常短，因而其计算工作量很大。为了提高效率，可以假设加速度在每一时段内为线性函数(或其他简单函数)。这样，即使取时段(即积分步长)为运动周期的十分之一甚至五分之一也可以得到合理的结果。

结构动力学简要概述

早在18世纪后半叶，瑞士的丹尼尔第一·伯努利(见伯努利家族)首先研究了棱柱杆侧向振动的微分方程。瑞士的L．欧拉求解了这个方程并建立了计算棱柱杆侧向振动的固有频率的公式。1877～1878年间，英国的瑞利发表了两卷《声学理论》，书中具体地讨论了诸如杆、梁、轴、板等弹性体的振动理论，并提出了著名的瑞利方法(或称瑞利原理)。1908年瑞士的w．里兹提出了一个求解变分问题的近似方法，后来被称作瑞利－里兹法。这个方法实际上推广了瑞利方法，在很多学科中(包括结构动力学在内)发挥了巨大的作用。1928年，S．P．铁木辛柯发表了《工程中的振动问题》 一书，总结了弹性体振动理论及其在工程中应用的情况。近几十年来，由于工程实践的需要和科学探索的兴趣，人们进行了大量的实验和理论研究工作，使这门学科在实践和理论分析上都获得了高度的发展。

结构动力学新的问题

二百多年来，结构动力学已经发展成为一门比较成熟的学科。但是，结构动力学仍在探索新的问题，如：

（1）复模态理论 传统的结构动力学主要以不考虑阻尼或只考虑比例阻尼系统的振型的纯模态理论为基础，近年来在考虑任意阻尼的复模态理论研究方面已取得一定的进展。深入开展复模态理论的研究将进一步推动结构力学的理论分析方法和实验技术的发展。

（2）主动振动控制 研究结构动力学的最终目的是要控制振动，防止因振动而造成的损害，而利用其有利的特性。传统的作法是根据结构动力响应的分析结果，在必要时对结构采取相应的修改措施，这是一种被动的振动控制方式。航空界在20世纪60年代开始发展主动控制技术，即根据振动传感器所获得的结构振动信息，通过控制系统加以分析并操纵若干小型操纵面，以达到降低飞机对大气湍流的响应水平或推迟颤振发生的目的，这是一种主动的振动控制方式。振动控制由被动发展到主动，是结构动力学中一个值得注意的动向。

（3）优化设计 结构动力学中的传统作法是分析已有结构的动力特征，其逆问题——设计一个结构使其具有预定的动力特性——越来越引起了人们的重视(见结构优化设计)。

（4）跨学科和其他问题 吸收其他学科的新技术，改善现有的方法和技术以提高它们的效率和精度，并开展跨学科的研究工作。 2100433B