对称矩阵基本介绍

元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

用<,>表示Rn上的内积。的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。

任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)

每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。

一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。

如果X是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵.

n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

所谓对称变换，即对任意α、 β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。投影变换和镜像变换都是对称变换。

把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。 (其中T为上标)

1.(A')'=A

2.(A+B)'=A'+B'

3.(kA)'=kA'(k为实数)

4.(AB)'=B'A'

若矩阵A满足条件A=A',则称A为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aij=aji,对任意i,j都成立。

1．对称矩阵

（1）对称矩阵

在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：

aij=aji0≤i，j≤n-1

则称A为对称矩阵。

（2）对称矩阵的压缩存

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。

①按"行优先顺序"存储主对角线(包括对角线)以下的元素

即按a00,a10,a11,……，an-1,0,an-1,1…，an-1,n-1次序存放在一个向量sa[0．．n(n+1)／2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)／2）。

其中：

sa[0]=a00,

sa[1]=a10,

……，

sa[n(n+1)／2-1]=an-1,n-1

②元素aij的存放位置

aij元素前有i行(从第0行到第i-1行)，一共有：

1+2+…+i=i×(i+1)／2个元素；

在第i行上，aij之前恰有j个元素(即ai0，ail，…，ai,j-1)，因此有：

sa[i×(i+1)／2+j]=aij

③aij和sa[k]之间的对应关系：

若i≥j，k=i×(i+1)／2+j0≤k<n(n+1)／2

若i＜j，k=j×(j+1)／2+i0≤k<n(n+1)／2

令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：

k=i×(i+1)／2+j0≤k<n(n+1)／2

（3）对称矩阵的地址计算公式

LOC(aij)=LOC(sa[k])

=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)／2+J]×d

通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。

【例】a21和a12均存储在sa[4]中，这是因为

k=I×(I+1)／2+J=2×(2+1)／2+1=4

对称矩阵定义是:A=A(A的转置) ，对称矩阵的元素A(i,j)=A(j,i).

反对称矩阵定义是:A= - A(A的转置前加负号) 它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各数绝对值相等，符号相反。 于是，对于对角线元素，A(i,i)=-A(i,i),有2A(i,i)=0， 在非偶数域中，有A(i,i)=0，

即反对称矩阵对角线元素为零( 此性质只在非偶数域中成立。在偶数域中，由于1+1=0，反对称矩阵的对角线元素不一定为0)。