线性随机系统

考虑如下形式的连续时间随机线性系统：

其中

分别表示系统的状态，控制和输出向量。

上的随机变量序列，且为独立的广义稳定的二阶矩过程。对于给定的初始条件x (0) = x0 ，我们定义其相应的解过程为x (t, x0)，输出过程为y (t, x0)。定义矩阵组A，B，C如下：

线性随机系统均方稳定性

对于上述连续时间随机线性系统，当u (t)=0，t>=0时，如果有

成立，就称该系统为均方稳定的，简称矩阵组A是均方稳定的。

线性随机系统均方镇定性

对于上述连续时间随机线性系统，若存在矩阵K，使得当u(t) =Kx(t)时，下述闭环系统

对任意的初始条件x0 2 Rn为均方稳定的，那么就称系统(2-13)为可镇定的。简称(A,B)为均方可镇定的。

其中，

线性随机系统能检测性

如果存在常数

那么就称(A,C)为能检测的。

其中

该函数可以看成是连续时间线性随机系统的输出能量函数。

线性随机系统能观测性

如果存在常数

对任意初始条件x0成立，则称连续时间线性随机系统为能观测的。

我们考虑如下形式的离散时间随机线性系统：

线性随机系统能检测性

如果存在整数

那么我们说(A,C)是能检测的。

线性随机系统能观测性

对于离散时间随机系统，如果存在常数

成立，则称连续时间线性随机系统为能观测的。

随机控制系统是受随机因素影响的动态系统。线性系统是指同时满足叠加性与均匀性（又称为其次性）的系统。

线性随机系统即同时满足线性系统和随机控制系统特性的系统，它满足线性系统的叠加性与均匀性，同时又受随机因素影响。线性随机系统分为连续线性随机系统和离散线性随机系统 。

一般来说，实际系统或多或少都含有随机和非线性因素。利用随机非线性模型对系统进行描述，并结合随机过程的知识来研究系统的动态规律，具有重要的理论和实际意义。若直接用线性控制方法对随机非线性系统进行研究，则需要线性化系统，而日益增长的高性能要求难以得到满足。故采用非线性控制方法来保证系统的全局性能，而非光滑控制方法是近年来发展起来的一种先进的非线性控制方法。另一方面，注意到许多实际系统本身含有非光滑的非线性动态，或在控制设计中引入了非光滑项，从而导致基于局部Lipschitz连续的光滑性方法无法应用。基于此，本项目针对随机非线性系统，研究其非光滑镇定问题。 本项目按照研究计划，基本完成了预定的研究内容。下面从理论和应用两个方面进行总结。在理论方面，对随机非线性系统建立了随机Barbalat's引理，此基础之上，针对具有ISS/iISS供应率不确定和噪声的下三角非线性系统，设计了输出反馈控制器；针对带马尔科夫跳的随机时滞系统，在更弱的假设条件下得到其均方指数稳定的滤波器设计方案；针对驱动子系统为上三角结构的级联系统，基于ISS理论，给出非光滑控制器的构造方案；针对一类随机非线性系统，通过设计改进的积分滑模面和滑模控制器，设计了积分滑模控制策略，使得闭环均方指数稳定，去除了已有方法对系统参数的约束。上述理论的实际应用方面，利用非光滑控制理论，针对农业拖拉机的自主导航控制问题，提出基于饱和控制技术的控制器设计方法；针对DC/DC变换器系统，设计了终端滑模控制器，并在功率变换器的实验平台上，实现了二阶滑模控制方案；在不确定性由非负函数限定的情况下，设计了新的二阶滑模控制算法，并将其运用到倒立摆系统的控制中。 上述研究成果表明本项目在项目组成员的共同努力下，已基本完成预定目标。非光滑控制方法大大改善了分析和设计随机非线性系统的复杂性，提高了系统的收敛性能和抗扰动性能，具有非常重要的理论和应用价值。 2100433B

随机非线性系统是近年来的一个研究热点。针对此类系统的控制设计，目前主要考虑系统在满足局部Lipschitz连续条件下的光滑镇定。然而，注意到许多实际系统本身含有非光滑的非线性动态，或者在控制设计中引入了非光滑项，从而导致基于局部Lipschitz连续的光滑性方法无法运用。基于此，本项目针对一类典型的随机非线性系统-三角结构随机非线性系统，研究其非光滑镇定问题。首先，在非Lipschitz连续条件下，建立随机非线性系统依概率全局渐近稳定性理论。然后，基于上述稳定性理论，针对下三角随机非线性系统，在局部Lipschitz连续情况下，研究其依概率有限时间镇定问题；在非Lipschitz连续情况下，研究其非光滑镇定问题。最后，对具有高次非线性和含有低次非线性的上三角随机非线性系统，研究其非光滑镇定问题。本项目的研究将为完善随机非线性系统的控制理论提供坚实的基础。

经过四年的研究，课题组完成了既定研究任务和研究目标。重要进展概括如下：(1)建立了一套基于随机平均法与动态规划，同时计及系统状态部分可观测、控制力时滞与有界、系统模型与参数不确定的非线性随机最优控制理论方法；(2)提出与发展基于拟哈密顿系统的随机平均法与随机极大值原理的非线性随机最优控制理论方法；(3)研究了最优控制系统的非线性随机动力学，包括随机响应、稳定性、可靠性等；(4)搭建了非线性随机最优控制试验平台，完成三层土木结构模型的随机最优控制实验，用实验初步验证了理论方法的有效性和精确性。(5)提出与发展以响应概率密度为目标的非线性随机最优控制理论方法；(6)提出与发展以智能材料为执行机构的非线性随机最优半主动控制理论方法；（7）提出与发展了具有分数阶导数阻尼的拟哈密顿系统的随机最优分数阶控制理论方法。 除了圆满完成既定目标之外，还研究了一些原计划未列入的内容，包括提出与发展了泊松与高斯白噪声共同激励下拟哈密顿系统的随机平均法，完善了基于哈密顿框架的随机动力学理论；提出研究动力学系统的复胞映射方法；发展有色噪声激励下非线性系统瞬态概率密度的方法；研究了周期矩形信号和不相关噪声激励下偏置单稳系统的随机共振；将随机动力学与控制理论应用到化学、生物和工程等领域，得到了较好的效果，等等。 在国家自然科学基金的资助下，课题组成功举办国际理论与应用力学联合会关于非线性随机动力学与控制的研讨会与第三届国际动力学、振动与控制会议两个国际会议。发表学术论文96篇，其中SCI、EI收录论文80余篇，专著章节两章。培养毕业硕士生10名，毕业博士生20名。 2100433B