立体运算

立体运算

当运算作为一种数学性概念时，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量。运算的本质是集合之中的映射。如4 4=8，其中4 4是已知量，8是结果， 表征加法运算，AXB→C表征映射。映射指两个元素集之间元素的相互对应关系，如4 4和8之间的对应关系。映射含有映照、照射的意义。数学化运算概念是数学化计算概念，也是广义化立体运算的狭义化表征之一。

认知心理对运算概念的解释首先是皮亚杰——（1896—1981著名认知心理学家）的贡献。皮亚杰将运算从数学引入到心理学研究中来，是一项巨大的贡献。运算即心理运算，皮亚杰认为，运算是内化了的动作，具有可逆性、守恒前提性、逻辑结构性等特征。皮亚杰运算概念的产生与逻辑实证主义并不能够脱离开关系。西方在20世纪50年代前在认知心理学范围内对意识化逻辑实证过程进行研究，皮亚杰的运算概念也就落在了意识化逻辑实证研究之中。皮亚杰对运算并未从运算的动力性、能量性等等入手，并将运算与运动区分开来。皮亚杰也未将运算的发展与整合之间的关系进行研究。皮亚杰同时将运算与思维之间相等，从而产生“感知运算阶段——前运算阶段——具体运算阶段——形式运算阶段”等运算发展的四阶段论。皮亚杰思想的时代，并未产生适应于讨论运算的“混沌学”和“耗散结构论”等等方法，尽管皮亚杰采取了“发生认知论方法”，但仍然未能够对运算进行认知解决。“从混沌向有序的演化”方法产生于20世纪80年代的西方，这是对运算解释的新方法。运算在“从混沌向有序演化”研究进程中，产生了巨大变化，心理形成了“从混沌向有序演化”的立体心理、认知心理形成了“从混沌向有序演化”的立体认知心理、运算也在“从混沌向有序的演化”之中形成了立体运算的范式。立体运算的研究将立体运算与立体思维之间进行了显著的区别，并对运算的核心——整合和运算的其他性质进行了相应的研究，核定了立体运算的定义。同时将运算与运动之间的区别陈述出来，并发现二者之间的关系等等。形成立体运算的方法是立体方法，立体方法核心是“从混沌向有序的演化”途径。

立体运算是立体心理产生或形成的基本功能，它与立体心理形式一道——立体思维、立体情感、本能、意志或素质等，经过整合构成立体心理。立体心理核心——立体认知心理之中，立体运算构成立体认知心理核心——立体思维性运算心理或立体运算性思维心理、立体情感性运算心理、意志性运算心理或素质心理，并在整合发展之中表征动力或能量性刺激或激发因子，揭示立体心理或立体认知心理功能。立体运算是人类立体心理功能，与人类立体心理形式，立体思维等等共同对人类立体认知心理建构。

立体运算的产生，应当从生物的形成开始，如细胞的生命形式——细胞壁、细胞质、细胞核在和细胞的生命功能——生命动力之间发生整合时，不仅表征细胞壁、细胞质、细胞核是生命功能的整合体，也表征整合对细胞吞噬和排泄的功能。但整合仅表征自涨落整合效应，并未因此进入立体运算系列。当本能性运算（简称本能）发生时，立体运算的萌芽便在其中发生着巨大的作用，导致生物为吃、喝等本能展开自身并使得世界充满生命之花。当自然进化在动物之中展示时，比如动物进化到了鸟类时，情绪性运算（简称情绪）的发生，使得情绪发生的核心在大脑旧皮质之中表征中枢神经现象——如纹状体、海马、海马回等等。当哺乳类动物在自然进化之中展示时，大脑新皮质使得哺乳类动物具有思维性运算或运算性思维等高级信息的高级运算性处理方式，而在哺乳类动物向人类发生自然进化和文化进化之后，立体运算的产生和对高级信息的处理方式得以展示。立体运算的发展揭示如下旅程——本能性运算整合——情绪性运算整合——立体情感性运算整合——立体思维性运算整合和立体运算性思维整合——意识化思维性运算整合——符号意识化思维性运算整合——规则化或规律化符号意识化思维性运算整合。立体运算的这一旅程前半段与自然进化之间具有密切联系的关系，后半段与文化进化、社会进化、劳动进化之间密切联系。

运算的核心是整合，立体运算的核心也是整合。立体运算的发生与运动之间具有密切的关系，当能量在生物体内表征时，具有两条基本方向——运动方向和运算方向。运动方向指生物能量的外化仅达到外化指向，如奔跑、仅达到奔跑产生便足矣。运算方向指生物能量的外化还与外化折返物之间的内化产生相互整合作用，并形成运算或立体运算。如婴儿对母乳的感觉认知性运算，婴儿能量的外化与外化指向物——母乳（或母亲奶头的嗅觉）之间产生的内化，共同整合为自组织运算（立体运算的级别之一），导致婴儿对母乳的“当仁不让”和断奶的困难。生物生理功能（动力、能量）的向外表征具有两条基本方向——运动方向和运算方向。当生物的生理功能仅具备外化现象，外化指向生物机体的运动方向，此刻，并无内化和整合的产生。当生物的生理功能指向生物的中枢神经结构及其心理形态时，便具有内化的产生和整合的形成，此刻，生物生理能量的外化与外化指向物的内化之间形成的整合，便导致运算的产生。简单认知便是，生物生理能量外化产生运动，生物生理能量外化并与内化整合时，产生运算，这是生物生理能量外化的两种基本表征现象。立体运算首先是生物生理外化的产物，然后是外化和外化折返物（内化）之间整合的产物，这就是立体运算产生的最基本机制。内化实际上是外化的产物。生物生理能量的发展指生物在广义进化体系中展示的“从混沌或混沌整合向有序或有序整合”发展序列，生物生理能量的来源如细胞之中“线粒体”含有的能量及能量整合的外化等等。

当运算在本能性运算表达时，即众多动物对运算的本能性运算功能表达时，运算此时揭示了本能对运算的整合或运算对本能的整合，显示自涨落运算整合的发生。当鸟类动物对情绪性运算揭示时，情绪性运算表达了运算对情绪或情绪对运算的整合，也显示了自涨落运算整合的现象。本能和情绪二者各自包含的动力或运算性动力，导致其极易与运算之间发生整合。思维性运算和运算性思维的产生，是哺乳类动物（灵长类动物）大脑发展的必然趋势，思维这种信息从本能、情绪这种包含着强烈外化的状态之中，逐渐独立发展了出来，从而使得思维的信息性具有朦胧指向性、模糊指向性、清晰指向性的发展表征。哺乳类动物向人类的进化，使得思维性运算的整合揭示了“从混沌向有序的演化或从深层混沌运算向浅层有序运算的演化”历程，完成了立体运算的建构。立体运算指混沌性运算或深层混沌性运算和有序性运算或浅层有序性运算之间的建构，混沌性运算一般在哺乳类动物之前或之中表征，有序性运算仅在人类之中得到表征，人类个体独具完整的立体运算结构。

人类的思维性运算和思维性运算的发展、运算性思维是立体运算构成之中的具体展示。立体运算的演化（发展）在人类那里，可以表现深层混沌运算和浅层有序运算的发展，可以表达融合性运算、破译性运算、整合性运算、复杂整合性运算、理性复杂整合性运算等等不同的层级效应，也可以揭示层级之中包含的级别现象，更可以对立体运算的发展进行类型性划分、类别性划分、程序性划分、理论性划分和操作性划分等等。立体运算的性质表征从混沌向有序的发展或从深层混沌运算向浅层有序运算的演化历程，并揭示立体运算性质的混沌性、非线性、非稳定、非确定、非线性运算向线性运算、有序性、指向性、稳定性、确定性、意识化或意识化模块性等等的发展。

立体运算具有下列性质特征：

1、 心理功能性和整合性

立体运算的性质首先是心理功能性，所谓功能指能量的应用或动力的应用，即立体运算的性质首先是心理动力的应用或心理能量的应用或心理功能。立体运算正是心理动力或心理能量的表征，从而能够与心理形式——本能、情绪、情感、思维、意识、意识化思维、符号意识化思维等等发生相互关系，从而产生整合这个立体运算发展的核心。如情绪需要动力加以推动，从而形成情绪外化现象；情感需要动力加以推动，从而产生如自卑性情感等等，并表征自卑情感的不同强烈程度。无心理功能性心理形式，并不能表征发展状态或转化模型，所有的心理形式发展，均需要心理功能的介入。心理功能对心理形式的介入采取整合的方式，心理功能对心理形式整合时，也表征心理形式对心理功能的整合，二者之间的关系相互激发、相互制约、相互诱惑、相互刺激等等。整合是立体运算的核心，整合表征对原来孤立的、片面的、零散的、零碎的认知状态或认知因子的有机连接性组合、整顿、整理进程。如将立体认知主体与认知客体的整合，从而形成立体认知心理等等。

2、 从混沌向有序演化性

立体运算表征强烈的发展性，但立体运算的发展具有“从混沌向有序演化”的特征。这也是立体运算与运算不同的特征，运算仅向我们揭示了运算演化的有序性特征，并未向我们揭示运算演化的无序性或混沌性特征。神经细胞即神经细胞的发展，导致立体运算的产生和发展，并逐渐揭示立体运算“从混沌向有序演化”的进程。如果从哺乳类动物谈起，哺乳类动物具有混沌性运算或无意识运算或无序性运算特征，简单的讲来，混沌演化也就是无意识演化，立体运算的混沌演化具有混沌性（开放性）、非稳定、非确定、非线性、无意识性、无序性等等特征。人类个体在自然进化之中的产生，一方面表征人类个体机体的自然进化程度高于哺乳类动物，另一方面，表征人类个体认知心理意识成分的具有，从而导致人类个体采用有序性运算发展，并表征线性运算、封闭性、有序性、指向性、稳定性、确定性、意识化或意识化模块性运算等特征，导致人类个体对世界的认知和自身的认知。自然进化和文化进化导致人类个体对立体运算具有混沌性演化和有序性演化这样的发展性特征，简单讲来，有序性演化即意识化演化或符号意识化演化。

3、 广义性和狭义性

立体运算的探索首先是广义性立体运算的探索，然后，才是狭义性运算的探索。广义性立体运算仅指混沌性运算历程，如哺乳类动物的混沌性运算历程那样，并不包括有序性立体运算演化在内或有意识立体运算的演化在内。广义性立体运算的发展潜力包括了狭义性运算在内，但仅是一种现象性指向。狭义性运算的存在和表征指浅层有序意识化、浅层有序符号意识化、浅层有序动作化等等运算的展开，如数学性计算历程。目前，我们对运算的讨论，仅展示对计算的讨论和探索，并未涉及更加广泛的广义性立体运算，因此，并没有涉及创造心理的发生和发展过程，仅揭示积累性经验心理产生的过程。广义性运算是狭义性运算（计算）发展的源泉，所有的狭义性运算均产生于广义性运算过程中，但广义性运算并不必然负有表征狭义性运算的责任。本能性心理和情绪性心理所含有的运算性整合为自涨落运算性整合（自起伏性运算整合），这是发生在思维性运算整合前的形式。立体运算的广义性运算讨论，使得创造性运算和经验性运算都介入到立体运算讨论中来。

4、能量性向运算性的发展

运算本是动力（能量）的表征，立体运算也是立体动力（立体能量）的表征。但大脑的发育和发展，使得动力在立体认知心理中的演化构成运算或立体运算功能。这种演化首先是生命的演化特征，然后是生命神经细胞的演化特征，最后，才表征中枢神经系统的演化特征。神经细胞对本属于运动的生物生理能量外化，具有向内折返性吸引的效应，从而使得内化产生，并与外化共同形成整合并表征运算或立体运算的生成。立体运算的核心一方面指整合，另一方面也是动力的发展、动力的立体整合性发展。

5、 层级性和级别性——大的层级和小的层级

立体运算的层级指立体运算整合的层级性，立体运算整合的层级性具有大的层级和小的层级之分。所谓大的层级指立体运算发展的层级：如生物体层级——生物体对生物动力的整合，细菌；本能性运算层级——本能对运算的整合或运算对本能的整合，导致冲动的发生或倾泻；情绪性运算层级——情绪对运算的整合或运算对情绪的整合，导致情绪倾泻倾向的演化或压抑；情感性运算层级——情绪性运算和思维性运算的内整合结果表征情感性运算，情感性运算层级表征思维性运算对情绪性运算的压抑或情绪性运算对思维性运算的奔放性倾泻等等，如自卑心理和自傲心理分别表征前者和后者。思维性运算层级——思维与运算之间的整合关系 ，在哺乳类动物和人类个体之中得到表征；意识化思维性运算层级——浅层有序认知层级，仅在人类之中独具，是对的立体运算整合的浅层心理化表征。符号意识化层级、策略意识化层级、创造意识化层级、逻辑意识化层级等等，立体运算发展大的层级还向我们表征很多不同层级的结构。

小的层级表征是思维性运算整合层级的现象，如融合性运算整合层级、破译性运算整合层级、整合性运算整合层级、复杂整合性运算整合层级、理性复杂整合性运算整合层级等等。小的思维性运算整合层级表征立体思维性运算心理的发展历程。

立体运算的级别性指立体运算的层级性（小的层级性）之中包含的那些发展的级别性，如融合性运算整合层级之中包含的自组织运算整合级别、吸引子运算整合级别、潜分化运算整合级别等等；破译性运算整合层级之中包含的意识化识别性运算整合级别、意识化记忆运算整合级别、意识化理解运算整合级别等等；整合性运算整合层级之中包含的比较性运算整合级别、分类性运算整合级别、分化性运算整合级别、综合性运算整合级别等等。复杂整合性运算整合层级之中包含的规则性运算整合级别、约定性运算整合级别、策略性运算整合级别、创造性运算整合级别等等，立体运算级别是立体运算层级的细化性讨论。

6、 类型性和程序性

立体运算发展的类型性指立体运算与思维共同整合后，形成的立体思维性运算心理发展的类型。立体思维性运算（心理）发展的类型具有混沌性类型、积累性类型、跨越性类型、混同性类型等。混沌性类型指立体运算处于深层混合的运算发展之中，从而产生的立体运算发展的非稳定性、非线性、非指向性、无意识性等等。积累性类型一般人类个体独具，一般指18月年龄之后的幼儿立体认知心理发展时产生的累积效应，也是模仿得以产生的依据之一。跨越性类型指立体运算的发展并不按照层级或级别的逐层或逐级方式演化，而采用对某些层级或 级别跨越的方式整合性表征，这也是创造产生的依据之一。混同性类型指积累性类型和跨越性类型的共同应用，在3岁以上的幼儿、学生心理中得到经常应用。

立体运算发展的程序性指立体运算首先以无序性功能形式发展，并表征混沌性运算现象。然后，以有序、程序、秩序、约定、规则、规律、策略、逻辑等等有序方式发生和展开，从而形成立体运算发展的有序形式。立体运算的展开是立体运算类型的展开，也是立体运算程序的展开，尽管程序在展开之中具有唯一性，但发展导致程序多样化展开形成。

7、 介入性和模块性

立体运算表征具有介入性，所谓介入性指立体运算对立体思维的介入、对立体情感的介入、对情绪化心理的介入、对本能性心理的介入等等。立体运算的介入性首先便认为立体运算并不等同于其他心理形式，而是与其他心理形式整合之后共同获得发展的状态，如立体运算与情感的整合，表征立体情感性运算的不同情景。立体运算的这种介入性实际上也就是立体运算的内整合性，立体运算通过对其他心理形式要素的介入，使得其他心理要素活跃起来，并表征不同的运算性。导致立体运算介入性的原因是立体运算本身便是动力或能量的结构，然后，动力或能量对状态或信息的介入或内整合，使得状态或信息活跃起来。

立体运算的模块性是立体运算发展层级性、级别性、类型性、程序性等表征的形式。立体运算的模块性在立体运算层级中指融合性运算整合模块、破译性运算整合模块、整合性运算整合模块、复杂整合性运算整合模块、理性复杂整合性运算整合模块等等。立体运算的级别性指融合性运算整合模块之中含有的自组织运算整合级别、吸引子运算整合级别、潜分化运算整合级别等等；破译性运算整合层级之中包含的意识化识别性运算整合级别、意识化记忆运算整合级别、简单解析性运算整合级别等等。立体运算的模块性指出，立体运算展开时一个时刻具有一个时刻的唯一性。

8、 模式化性和模型性

立体运算的模式化性和模型化性指立体运算的浅层有序运算发展时期表征的现象。立体运算的模式化性指立体运算模块性的发展和表征，也指立体运算方法形成时的模式化表征，如通过对3 2、4 1等等的认知，立体运算具有加法这一模式。立体运算的模型化性指模式化的经验性演化、跨越性运算过程的经验性演化等等，如立体认知心理对创造历程的心理认知：创造萌芽——创造启动——创造过程——创造结果——创造修正——创造反馈等等，这样的认知是立体运算模型化的现象，当然，也是立体思维性运算模型化的现象。

立体运算的方向

立体运算的方向或立体运算的倾向指立体运算的发展倾向，立体运算具有下列倾向

1、发展的倾向性

立体运算并不是人类独具的心理功能或心理动力性功能现象，立体运算在哺乳类动物（灵长类动物）、鸟类动物、爬行类动物等等之中便早已具备，仅在于这些动物表征的立体运算仅是混沌性运算或立体运算的前半部部分。立体运算的自然进化、文化进化、社会进化、劳动发生等等对立体运算发展的倾向具有指导性意义，并且这个指导性意义在动物的遗传和变异之中便向我们表征，立体运算的发展倾向具有由低级向高级发展的倾向。当动物在自然进化之中不断被淘汰时，便显示了立体运算发展倾向的从低级向高级倾向来。这个倾向表征从本能性运算整合向情绪性运算整合的发展，从情绪性运算整合向情感性运算整合的发展，从情感性运算整合向思维性运算整合的发展，从思维性运算整合向意识化思维性运算整合的发展，向符号意识化思维性运算整合的发展等等，这是一个不可逆性发展倾向。

2、年龄性

立体运算的发展具有年龄性特征，这里专指人类个体的立体运算发展性而言。当立体运算级别呈现自组织运算整合级别时，此时婴儿年龄指0月——5月婴儿，自组织或潜思维自组织运算整合级别此刻主导0月——5月婴儿立体认知心理，并由此形成感觉认知心理。当立体运算级别呈现吸引子运算整合级别时，此时婴儿年龄指5月——1岁婴儿，吸引子或状态思维吸引子运算整合级别此刻主导5月——1岁婴儿立体认知心理，并由此形成知觉认知心理。当我们将立体运算发展层级进行区分性认知后，当我们对立体运算发展级别进行区分性认知后，当我们对立体运算类型进行区分性认知后，当我们对的立体运算发展程序进行区分性认知后，均可以获得相应年龄产生相应立体运算现象的证词。立体运算发展的年龄性，在对的婴幼儿、小学生、中学生教学中具有极大意义。

3、共性和个性

立体运算的发展呈现共性和个性的不同。所谓立体运算的共性发展指立体运算的立体思维性运算（心理）发展，也是立体运算的认知性发展，这是整合性发展的表征。立体思维性运算心理的发展如感觉性认知向知觉性认知的发展，知觉性认知向表象性认知的发展，表象性认知向表象意识化认知的发展等等，都表征了立体运算向认知共性的发展倾向，导致人类个体立体认知倾向的一致性产生，如融合性运算整合层级向破译性运算整合层级的发展，破译性运算整合层级向整合性运算整合层级的发展等等，这是一个感性向理性发展的倾向，也是认知共性发展的倾向。立体运算同时还向我们揭示个性的发展倾向，这就是立体情感性运算心理的发展倾向。当思维性运算心理与情绪性运算心理之间发生内整合后，形成了初级立体情感性运算心理，但初级立体情感性运算心理在外化历程中再次与思维性运算心理相整合时，双重思维性运算心理对立体情感性运算心理的介入（内整合介入和外整合介入），虽然使得立体情感性运算心理的共性特征得到了一些展示，但情绪化运算心理对立体情感性运算心理的作用，使得立体情感性运算心理呈现个性明显的特征。也包括意志性运算心理或素质，同样是立体运算的个性发展表征。立体运算正是在个性和共性的交换之中，才导致了其发展动力性和信息性的交换，并对社会和自身产生认知。

4、外化与内化性

立体运算的发展指立体运算整合的发展，立体运算整合的形成指立体运算主体、运算客体、立体运算中介、立体运算整合、立体运算评价的关系历程。立体运算主体一般指学生或学生的运算心理；运算客体指介入性客体，一般指教材或符号性教材；立体运算中介一般指家长、教师、邻居等等；立体运算整合指立体运算主体与运算客体之间发生关系或在立体运算中介情景下发生关系时，导致的立体运算整合产生。立体运算一般指立体运算整合，除非专有名词阐述。当立体运算主体发生外化作用时，导致立体运算主体动力或能量的外化，或经过中枢神经处理后的潜运算动力或潜运算能量外化，潜运算指运算产生前的运算准备形态。立体运算主体的外化指向或模糊指向运算客体时，导致运算客体的内化产生，该内化是外化的表征，可以这样证明，如果没有外化的产生，那就没有内化的形成，所有的内化都是依靠外化而形成的。当立体运算主体的外化因子产生，并导致运算客体的内化形成时，内化不仅表征立体运算的动力或能量成分，也表征运算客体的信息成分，于是，外化动力或能量或能量性信息与内化信息或信息性动力的整合，便形成立体运算。

立体运算的形成离不开立体运算主体、离不开运算客体、离不开立体运算整合，在学校教学过程中，也离不开教师。立体运算主体表征外化、运算客体表征内化、立体运算中介表征导入，立体运算整合表征外化与内化之间的关系。

5、方法性或计算性

立体运算的发展可以被方法所调节，所谓方法指浅层有序建构或结构性方法，也指立体运算为达到发展目的而实施的途径、步骤、手段等等。立体运算的方法性是立体运算的浅层化的必然，当立体运算被幼儿在18月后应用时，便形成可追踪的意识化方法或意识化思维性运算整合方法，如表象意识化识别性运算整合心理的产生、表象意识化记忆运算整合心理的产生等等，导致幼儿对事物或他人具有意识化识别和意识化记忆等现象。立体运算的方法化也是立体运算从广义性运算向狭义性运算发展的表征历程，广义性运算向计算的发展，使得计算得以显示和发展。如几何性方法、积分性方法、微分性方法等等。立体运算方法性的产生表征立体运算从广义向狭义的进展，立体认知从动态向静态的进展，人们开始以静态的观点处理纷繁复杂的世界和自身。

立体运算的方法性是立体运算发展的表征，也是立体运算进步的表征。但立体运算的方法性却使得立体运算的发展被局限于经验认知的范围内，从而使得立体运算发展的跨越性得不到表征。立体运算揭秘性讨论，目前还是以立体运算类型为准，混沌性或混沌性方法、积累性或积累性方法、跨越性或跨越性方法、混同性或混同性方法是立体运算方法的发展表征，也是立体运算的类型性方法的区别性表征。

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速度环运算是伺服电机运动控制的一环。速度环的输入就是位置调节后的输出以及位置设定的前馈值，速度环输入值和速度环反馈值进行比较后的差值在速度环做PID调节（主要是比例增益和积分处理）后输出到电流环。速度环的反馈来自于编码器的反馈后的值经过“速度运算器”得到的。速度环控制包含了速度环和电流环 。

原码加减运算

对原码表示的两个数进行加减运算时，符号位不参与运算，仅仅是两数的绝对值参与运算。计算机的实际操作是加还是减，不仅取决于指令的操作码，还取决于两个操作数的符号，例如：加法时可能要做减法（两数异号）；减法时又可能做加法（两数异号），所以原码加减运算的实现是比较复杂的 。

补码加减运算

1.补码加法

两个补码表示的数相加，符号位参加运算，且两数和的补码等于两数补码之和，即

[X Y]补=[X]补 [Y]补

2.补码减法

根据补码加法公式可推出：

[X-Y]补=[X (-Y)]补=[X]补 [-Y]补

已知[Y]补求[-Y]补的方法是：将[Y]补连同符号位一起求反，末尾加“1”。 [-Y]补被称为[Y]补的机器负数，由[Y]补求[-Y]补的过程称为对[Y]补变补（求补），表示为：

[-Y]补=[[Y]补]变补

注意将“某数的补码表示”与“变补”这两个概念区分开来。一个负数由原码表示转换成补码表示时，符号位是不变的，仅对数值位的各位变反，末尾加“1”。而变补则不论这个数的真值是正是负，一律连同符号位一起变反，末尾加“1”。[Y]补表示的真值如果是正数，则变补后[-Y]补所表示真值变为负数，反之亦然。

3.补码加减运算规则

补码加减运算规则如下：

(1)参加运算的两个操作数均用补码表示；

(2)符号位作为数的一部分参加运算；

(3)若做加法，则两数直接相加；若做减法，则将被减数与减数的机器负数相加；

(4)运算结果用补码表示。

4.符号扩展

在计算机算术运算中，有时必须将采用给定位数表示的数转换成具有更多位数的某种表示形式。例如某个程序需要将一个8位数与另外一个32位数相加。要想得到正确的结果，在将8位数与32位数相加之前，必须将8位数转换成32位数形式，这被称为“符号扩展”。

对于补码，符号扩展方法是：原有符号位保持不变，若为正数则所有附加位都用0进行填充，若为负数则所有附加位都用1进行填充。也可以理解为是用符号位来填充附加的高位 。

补码的溢出判断与检测方法

1.溢出的产生

在补码加减运算中，有时会遇到这样的情况：两个正数相加，而结果的符号位却为1（结果为负）；两个负数相加，而结果的符号位却为0（结果为正）。

设参加运算的两数为X、Y，做加法运算。

若X、Y异号，不会溢出。

若X、Y同号，运算结果为正且大于所能表示的最大正数或运算结果为负且小于所能表示的最小负数（绝对值最大的负数）时，产生溢出。将两正数相加产生的溢出称为正溢；反之，两负数相加产生的溢出称为负溢。

2.溢出检测方法

设：被操作数为：[X]补=Xs,X1X2…Xn

操作数为：[Y]补=Ys,Y1Y2…Yn

其和（差）为：[S]补=Ss,S1S2…Sn

(1)采用一个符号位

两正数相加，结果为负表明产生正溢；两负数相加，结果为正表明产生负溢。因此可得出采用一个符号位检测溢出的方法：

当Xs=Ys=0，Ss=1时，产生正溢。

当Xs=Ys=1，Ss=0时，产生负溢。

(2)采用进位位

两数运算时，产生的进位为Cs,C1C2…Cn，其中：Cs为符号位产生的进位，C1为最高数值位产生的进位。

两正数相加，当最高有效位产生进位（C1=1）而符号位不产生进位（Cs=0）时，发生正溢。

两负数相加，当最高有效位没有进位（C1=0）而符号位产生进位（Cs=1）时，发生负溢。

(3)采用变形补码（双符号位补码）

在双符号位的情况下，把左边的符号位Ss1叫做真符，因为它代表了该数真正的符号，两个符号位都作为数的一部分参加运算。这种编码又称为变形补码。

双符号位的含义如下：

Ss1Ss2=00 结果为正数，无溢出；

Ss1Ss2=01 结果正溢；

Ss1Ss2=10 结果负溢；

Ss1Ss2=11 结果为负数，无溢出。

当两位符号位的值不一致时，表明产生溢出。溢出=Ss1⊕Ss2 。

表格 15-2. 算术运算符

除号（“/”）总是返回浮点数，即使两个运算数是整数（或由字符串转换成的整数）也是这样。

注: 取模 $a % $b 在 $a 为负值时的结果也是负值。