对称矩阵
对称矩阵是元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
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对称矩阵是元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
用<,>表示Rn上的内积。的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。
任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)
每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
如果X是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵.
n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
所谓对称变换，即对任意α、 β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。投影变换和镜像变换都是对称变换。
把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。 (其中T为上标)
1.(A')'=A
2.(A+B)'=A'+B'
3.(kA)'=kA'(k为实数)
4.(AB)'=B'A'
若矩阵A满足条件A=A',则称A为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aij=aji,对任意i,j都成立。
1．对称矩阵
（1）对称矩阵
在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：
aij=aji0≤i，j≤n-1
则称A为对称矩阵。
（2）对称矩阵的压缩存
对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。
①按"行优先顺序"存储主对角线(包括对角线)以下的元素
即按a00,a10,a11,……，an-1,0,an-1,1…，an-1,n-1次序存放在一个向量sa[0．．n(n+1)／2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)／2）。
其中：
sa[0]=a00,
sa[1]=a10,
……，
sa[n(n+1)／2-1]=an-1,n-1
②元素aij的存放位置
aij元素前有i行(从第0行到第i-1行)，一共有：
1+2+…+i=i×(i+1)／2个元素；
在第i行上，aij之前恰有j个元素(即ai0，ail，…，ai,j-1)，因此有：
sa[i×(i+1)／2+j]=aij
③aij和sa[k]之间的对应关系：
若i≥j，k=i×(i+1)／2+j0≤k<n(n+1)／2
若i＜j，k=j×(j+1)／2+i0≤k<n(n+1)／2
令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：
k=i×(i+1)／2+j0≤k<n(n+1)／2
（3）对称矩阵的地址计算公式
LOC(aij)=LOC(sa[k])
=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)／2+J]×d
通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。
【例】a21和a12均存储在sa[4]中，这是因为
k=I×(I+1)／2+J=2×(2+1)／2+1=4
元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
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楼上恐怕还是不大了解，数字矩阵首先信号是数字信号，数字信号包括：SDI（标清）、HD-SDI（高清）这两种以前都是广播级信号，都是在广播电视应用的，但是现在随着电视会议的发展，已经出现高清电视会议系统...
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矩阵函数和函数矩阵
矩阵函数和函数矩阵
矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵 ，简单地说就是多个一般函数的阵列， 包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量 t 的实函数矩阵 ( )( ) ( )ij m nX t x t ×= ，所有分量函数 ( )ijx t 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 0 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) . t t ij ijt t d d X t x t X d x d dx dx τ τ τ τ ? ? ? ??? ???= =? ??? ?? ?? ? ?? ?∫ ∫ 函数矩阵的微分有以下性质： （1） ( )( ) ( ) ( ) ( )d d dX t Y t X t Y t dt dt dt + = + ； （2） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
基于Clarke矩阵的不对称输电线路相模变换矩阵求解
基于Clarke矩阵的不对称输电线路相模变换矩阵求解
输电线路在参数不对称时,传统的分析方法如对称分量法失效,此时需要采用模分量方法,此方法的核心在于求解相模变换矩阵。为求解该相模变换矩阵,从标准Clarke变换矩阵出发,通过矩阵变换,得到适用于不对称线路模分量分析的相模变换矩阵,即改进的Clarke变换矩阵。将上述矩阵应用于不对称输电线路的模分析,可以有效减少计算量。仿真结果验证了该方法的可行性。
主要性质:
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
实反对称矩阵(real antisymmetric matrix)一种反对称矩阵.
定义1 设A是一个n阶方阵,如果AT=-A,则称A为反对称矩阵.
性质1 任何一个n阶矩阵A,均可唯一表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和,即A=B+C,其中BT=B,CT=-C。
性质 2 若 A 是反对称矩阵,则其主对角线上的元素全为零.
证明 由定义 1 可知成立.
性质 3 设 A , B 为 n 阶反对称矩阵, k 为常数 , l 为正整数 ,则:
(1) A ±B , kA , AB - BA 为反对称矩阵.
(2) AB 为对称矩阵的充要条件为 AB = BA .
(3)当 l 为奇数时 , A l 为反对称矩阵,当 l 为偶数时 , A l 为对称矩阵.
证明 利用对称矩阵与反对称矩阵的定义直接验证即可.
性质 4 设 A 是任一 n 阶矩阵 ,则 A - A T 必为反对称矩阵.
证明 因为( A - A T) T = A T - ( A T) T = A T - A = - ( A - A T) ,所以 A - A T 为反对称矩阵.
性质 5 设 A 是奇数阶反对称矩阵 ,则| A| = 0.
证明 因为| A| = | A T| = | - A| = - | A| ,所以| A| = 0.
性质 6 设 A 是 n 阶反对称矩阵, B 是 n 阶对称矩阵,则 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵.
证明 由定义直接验证即可.
性质 7 设 B 为 n 阶实矩阵 ,则 B 为反对称矩阵的充要条件为对任意 n 维列向量 X ,均 有 X TB X = 0.
证明 必要性:因为 B 为反对称矩阵,所以 X TB X = X T ( - B T) X = - ( X TB X) T = X TB X ,从而 X TB X = 0. 充分性 :令 B = ( bij) n ×n ,取 X = ei + ej ,其中 ei 表示第 i 个分量是 1 ,其余分量为 0 的 n元列向量. 则 X TB X = ( eT i + eT j ) B ( ei + ej) = eT i Bei + eT i Bej + eT j Bei + eT j Bej = eT i Bej + eT j Bei = bij + bji = 0. 所以 bij = - bji , i , j = 1 ,2 , ⋯, n. 从而 B 为反对称矩阵.
性质 8 设 A 为 n 阶反对称矩阵, A*为其伴随矩阵,则 n 为偶数时, A*为反对称矩阵;n 为奇数时 , A*为对称矩阵.
性质 9 设 A 为 n 阶可逆反对称矩阵 ,则 n 为偶数 ,且 A - 1也是反对称矩阵.
对称矩阵定义是:A=A(A的转置) ，对称矩阵的元素A(i,j)=A(j,i).
反对称矩阵定义是:A= - A(A的转置前加负号) 它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各数绝对值相等，符号相反。 于是，对于对角线元素，A(i,i)=-A(i,i),有2A(i,i)=0， 在非偶数域中，有A(i,i)=0，
即反对称矩阵对角线元素为零( 此性质只在非偶数域中成立。在偶数域中，由于1+1=0，反对称矩阵的对角线元素不一定为0)。
实对称矩阵概述
